§ 1

§ 1. Основні властивості найпростіших геометричних фігур

1. Геометричні фігури

На рисунку зображено декілька геометричних фігур, побудованих у середовищі пакета динамічної геометрії

DG. Для того щоб отримати уявлення про можливості пакета змініть положення базових точок рисунка (вони позначені червоними квадратиками). Ви помітите, що положення геометричних фігур при цьому змінюються, змінюється їх взаємне розташування, змінюються розміри фігур, проте якісь найважливіші властивості фігур при цьому зберігаються. Ті властивості геометричних фігур, що не змінюються під час рухів і змін масштабу, і є геометричними властивостями, які є предметом дослідження геометрії Евкліда. Пакет DG дозволяє виконувати геометричні побудови швидко і точно, швидко і точно виконувати перетворення фігур, вимірювати параметри отриманих геометричних динамічних креслень (які ми будемо скорочено називати ДК). Параметри ДК можна динамічно змінювати (наприклад, перетягувати базові точки ДК на нові позиції), при цьому пакет буде автоматично (динамічно) перераховувати й перебудовувати креслення. Це відкриває нові можливості дослідження геометричних фігур. Геометрія стає більш наочною, “експериментальною” – за допомогою пакета DG властивості геометричних фігур можна підмітити, після чого їх можна експериментально перевірити або спростувати.

Рисунок 1.

1 ДК "Геометричні фігури"

2. Точка і пряма

Розглянемо першу аксіому геометрії, яка характеризує властивості належності точок і прямих на площині. Після цього обговоримо особливості побудов точок і прямих у середовищі пакета DG.

Аксіома 1. Точка і пряма

- Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.

- Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки одну.

Для побудови точок у пакеті DG є інструмент Точка, який на панелі інструментів представлений кнопкою . Для вилучення точок треба скористатися контекстним меню точки, для чого треба підвести курсор миші до відповідної точки (при цьому курсор змінить свій вигляд) і клацнути правою кнопкою миші; потім зі спадаючого меню обрати команду Вилучити точку

.

Завдання 1. 2.1

- Побудуйте на площині декілька точок, скориставшись інструментом Точка.
- Вилучіть точки за допомогою команди Вилучити точку
.

Для підвищення виразності креслень зображення точок можна редагувати. Для цього треба скористатися контекстним меню точки й обрати в ньому команду Властивості точки. На малюнку наведене зображення, яке побудовано виключне точками, з використанням різних елементів форматування.

Рисунок 1.

2 Побудова та форматування точок у пакеті DG.

Завдання 1.2.2

- Спробуйте самостійно повторити побудову ДК, яке зображене на рисунку 1.2.
- Побудуйте оригінальне ДК за допомогою тільки одного примітиву Точка.

3. Відрізок

Розглянемо аксіому розміщення точок на прямій

Аксіома 2. Ррозміщення точок на прямій

З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

У пакеті DG є спеціальний інструмент Точка фігури для побудови точки, яка належить геометричній фігурі (прямій, променю, відрізку, колу, дузі кола). Для його використання достатньо активізувати цей інструмент - натиснути на кнопку

на панелі інструментів, або обрати команду Фігури\Точка\Точка фігури в головному меню пакета. Якщо тепер підвести курсор до геометричної фігури (прямої, променя, відрізка, кола, дуги кола), він змінить свій зовнішній вигляд, а після натискування на кнопку миші на геометричній фігурі з’явиться точка. Побудована точка не буде вільною – її не можна перетягнути у довільну точку екрана за допомогою миші, вона завжди буде належати геометричній фігурі на якій її було сконструйовано. Її можна перетягувати тільки вздовж цієї геометричної фігури. Такі точки в пакеті DG називаються напівзалежними – вони мають тільки одну степінь свободи на відміну від вільних (або базових) точок, які можуть вільно переміщатися вздовж всієї площини – екрана DG.

Завдання 1.3.1

- Побудуйте на екрані DG декілька прямих.
- Побудуйте на прямих декілька точок, скориставшись для цього інструментом
Точка фігури.
- Динамічно змінюючи параметри побудованих прямих та положення точок на них наочно впевніться, що аксіома 3 розміщення точок на прямій виконується для прямих та точок, побудованих у пакеті DG.

Рисунок 1.

3 Як відстебнути та пристебнути точку до прямої

Зауваження

Точку можна пристебнути до фігури або відстебнути від фігури - властивість точки бути “пристебнутою” до геометричної фігури (бути напівзалежною точкою), можна змінити, перетворивши її на вільну точку. Для цього треба визвати контекстне меню “пристебнутої” точки, клацнувши на ній правою кнопкою миші, й у спадаючому меню обрати команду Відстебнути точку.

Навпаки, вільну точку можна перетворити у напівзалежну, пристебнувши до фігури. Для цього також треба скористатися контекстним меню точки: підвести відповідну точку до геометричної фігури, після чого визвати контекстне меню точки й у спадаючому меню вибрати команду Пристебнути точку.

Завдання 1.3.2

- На кресленні, яке було підготовлене у попередньому завданні, відстебнути всі поставлені на прямих точках (зрозуміло, базові точки прямих відстебнути від цих прямих неможливо).

- Впевніться за допомогою експериментів, що відстебнуті точки перетворилися на вільні точки.

- Пристебнути знову точки, що були відстебнуті у пункті 1, до прямих.

- Впевніться за допомогою експериментів, що пристебнуті точки перетворилися у напівзалежні точки.

Крім прямої в DG є ще прямолінійні примітиви:

- Відрізок
– його можна побудувати за допомогою відповідного інструмента Відрізок. Для побудови відрізка достатньо клацнути на точках – кінцях цього відрізка (при цьому кінцями відрізка можуть бути вільні точки, напівзалежні точки, залежні точки, клацання мишкою на вільному місці створює нову вільну точку).
- Промінь
– його можна побудувати за допомогою інструмента Промінь. Для побудови променя достатньо клацнути на точках – початку променя та довільній точці на промені (як і у випадку з відрізком, базовими точками променя можуть бути вільні точки, напівзалежні точки, залежні точки, клацання мишкою на вільному місці створює нову вільну точку).

4. Вимірювання відрізків

Аксіома 3. Вимірювання відрізків

Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.

У пакеті DG є спеціальний інструмент - Виміряти відстань для вимірювання довжин відрізків. Для вимірювання довжини відрізка достатньо клацнути мишкою на його кінцях, для вимірювання відстані між двома довільними точками (навіть якщо вони не поєднані відрізком) достатньо клацнути на цих точках. Довжина відрізка відображається в надписі, який автоматично розміщується біля його середини. Місце надпису можна змінити, перетягуючт його за допомогою миші на нове місце. Для корегування форми представлення надпису треба скористатися його контекстним меню, яке можна викликати, клацнувши на ньому правою кнопкою миші. Точність вимірювань встановлюється в головному меню на вкладниці Опції\Опції\Різне. Цю вкладку зображено на рисунку.

Рисунок 1.

4 Налагодження точності вимірювань

Завдання 1.4.1

- Побудуйте нове креслення, а на ньому - довільну пряму. На прямій поставте точку за допомогою інструмента Точка на фігурі.

- Виміряйте довжини трьох відрізків, які утворені побудованими трьома точками (дві точки – базові точки прямої й одна напівзалежна точка, що належить прямій).
- Впевніться за допомогою експериментів, що аксіома вимірювання довжин відрізків виконується завжди в середовищі пакета DG. Для цього переміщуйте всі три точки за довільним порядком і спостерігайте за виконанням аксіоми.

Рисунок 1.

5 Аксіома 3. Властивості вимірювання відрізків.

5.

Півплощини

Аксіома 4. Розміщення точок відносно прямої на площині

Пряма розбиває площину на дві півплощини.

Якщо дві точки лежать в одній півплощині, на які ділить площину будь-яка пряма, то відрізок, що поєднує ці дві точки, не перетинає цю пряму. І навпаки, якщо відрізок, що поєднує дві точки не перетинає деяку пряму, то ці дві точки належать одній з двох півплощин, на які ділить площину дана пряма.

Якщо дві точки лежать в різних півплощинах, на які ділить площину деяка пряма, то відрізок, що їх поєднує, перетинає цю пряму. І навпаки, якщо відрізок, що поєднує дві точки, перетинає деяку пряму, то ці дві точки належать різним півплощинам, на які ділить площину дана пряма.

Завдання 1.5.1

- Побудуйте нове креслення, а на ньому - довільну пряму.
- Побудуйте довільний відрізок, у якого кінцями є вільні точки.

- Впевніться за допомогою експериментів, що аксіома 4 розміщення точок відносно прямої на площині виконується у середовищі пакета DG. Для цього переміщуйте всі базові точки креслення
за довільним порядком і спостерігайте за виконанням аксіоми.

Рисунок 1.

6 Аксіома 5. Розміщення точок відносно прямої на площині.

6.

Півпряма або промінь

Згідно з підручником, півпрямою або променем називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки; ця точка називається початковою точкою півпрямої. Різні півпрямі однієї й тієї ж прямої зі спільною початковою точкою називаються доповняльними.

Поняття променя корисно. Наведемо приклад практичного використання цього поняття.

Задача 1.

6.1

У площині задано замкнений многокутник

F без самоперетинів і довільна точка P. Як визначити, що точка P знаходиться зовні, або зсередини многокутника?

Ця задачу, як завжди, можна вирішувати різними способами, але найпростіший – побудувати довільний промінь, який виходить з точки

P і порахувати його перетини з сторонами многокутника F. Якщо точок перетину буде непарне число – точка лежить всередині многокутника, якщо парне – зовні многокутника. Особливі випадки мають місце коли промінь проходить через вершини многокутника. Самостійно вдоскональте запропоноване рішення для цих випадків.

Завдання 1.6.2

- Побудуйте довільний многокутник, скориставшись для цього інструментом
Многокутник. Зауважимо, що для завершення вводу многокутника, його треба замкнути – після вводу всіх його вершин повторно ввести його першу вершину.
- Побудуйте довільний промінь, скориставшись для цього інструментом Промінь.
- За допомогою комп’ютерних експериментів підтвердіть або спростуйте гіпотезу щодо умови, коли точка лежить зовні або всередині многокутника.
- За допомогою комп’ютерних експериментів дослідіть особливі випадки – випадки, коли промінь проходить через вершину многокутника.
- Доведіть умову, коли точка лежить зовні або всередині многокутника.

Рисунок 1.

7 ДК "Задача 1.6.1"

7. Кут

Згідно з підручником, кутом називається фігура, яка складається з точки – вершини кута і двох різних півпрямих, що виходять із цієї точки, - сторін кута

.

У пакеті

DG немає примітива кут – його треба конструювати згідно з наведеним визначенням: побудувати вершину кута, а потім за допомогою примітива Промінь побудувати дві сторони кута – дві півпрямі, що виходять з побудованої точки – вершини кута.

Завдання 1.7.1

- Побудуйте довільний кут.
- Змінюючи положення базової точки сторони кута перетворіть побудований кут на гострий, тупий, прямий, розгорнутий.
- Побудуйте точки на сторонах кута.
- Поєднайте побудовані точки відрізком, скориставшись для цього інструментом Відрізок.
- Побудуйте промінь, що проходить між сторонами кута.

8. Відкладання відрізків і кутів

Під час виконання

побудов дуже часто виникає потреба відкладання відрізків даної довжини. Наступна аксіома віддзеркалює основну властивість цієї дії.

Аксіома 6 відкладання відрізків

На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини і тільки один.

Для експериментальної перевірки справедливості цієї аксіоми достатньо побудувати довільний промінь у площині, на цьому промені побудувати точку за допомогою інструмента Точка фігури, виміряти довжину відрізка від початку променя до побудованої точки, скориставшись інструментом Вимірювати відстань. Після цього, рухаючи точку

C вздовж променя, експериментально впевніться, що довжина відрізка буде монотонно збільшуватись у процесі віддалення точки C променя від початку A променя. Зображення відповідного ДК “Аксіома 6. Відкладання відрізків” наведено на наступному рисунку.

Рисунок 1.

8 ДК "Аксіома 6. Відкладання відрізків"

ДК "Аксіома 6. Відкладання відрізків" віддзеркалює процес відкладання на промені відрізка заданої довжини за допомогою лінійки. Якщо виникає потреба відкласти відрізок, довжина якого співпадає з довжиною іншого відрізка, це вимагає вимірювання довжини вихідного відрізка, а потім за допомогою лінійки відкладання відрізка отриманої довжини на промені. Це можна зробити більш ефективно (без зайвих дій вимірювання довжини відрізка) за допомогою циркуля:

- Побудуйте довільний відрізок, скориставшись для цього інструментом Відрізок;
- Побудуйте довільний промінь, скориставшись для цього інструментом Промінь;
- Побудуйте коло з радіусом, який дорівнює довжині заданого відрізка і з центром у початку променя, скориставшись для цього інструментом Коло за радіусом

;
- Побудуйте точку перетину побудованого кола і променя, скориставшись для цього інструментом Точка перетину
.
- Виміряйте два отримані відрізки і впевніться, що вони мають однакову довжину, скориставшись для цього інструментом Вимірювати відстань
;
- Виконайте тестування розробленого ДК, змінюючи його параметри і спостерігаючи, як змінюються довжини відрізків.

На рисунку наведено зображення відповідного ДК.

Відкладання відрізка за шаблоном цілком повторює операції відповідних побудов за допомогою звичайного циркуля.

Зауважимо також, що пакет

DG має можливості створювати макроси – пойменовані (названі) процедури виконання заданих послідовностей дій. Можна легко створити макрос SegmentBySample, тоді зазначені побудови будуть виконуватися автоматично після задання вихідних параметрів – кінців відрізка та точок, які задають промінь.

Рисунок 1.

9 Аксіома 6. Відкладання відрізка за шаблоном

Завдання 1.8.1

- Почніть побудову нового ДК, скориставшись для цього командою Створити новий рисунок.

- Завантажте макрос
SegmentBySample з бібліотеки макросів, скориставшись для цього командою Макроси/Завантажити макрос.

- Побудуйте довільний відрізок і промінь.

- Відкладіть на промені відрізок, довжина якого дорівнює довжині заданого відрізка, скориставшись для цього макросом
SegmentBySample.

Друга аксіома відкладання стосується відкладання кутів і відобржає процес відкладання від променя кута заданої величини за допомогою транспортира.

Аксіома 7. Відкладання кута.

Від будь-якої півпрямої у дану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за 180° , і тільки один.

Відповідне ДК неважко створити. Ми не будемо обговорювати деталі його побудови. Варіант ДК Аксіома 7. Відкладання кута наведено на рисунку.

Рисунок 1.

10 ДК "Аксіома 7. Відкладання кута"

Як і у випадку відкладання відрізків, на практиці часто виникає потреба відкласти від даного променя в задану півплощину кут, який дорівнює деякому іншому куту. Якщо для цього використовувати транспортир, то спочатку треба виміряти величину заданого кута, а потім відкласти його відповідним чином від заданого променя. За допомогою циркуля можна виконати побудову кута, рівного даному, від даного променя в задану півплощину.

Сконструюємо ДК “Відкладання кута, рівного даному куту”

:

- Побудуйте кут
BAC (кут – шаблон, точка A – вершина кута, точки B і C – точки на сторонах кута), скориставшись інструментом Промінь.

- Побудуйте промінь
DE – базовий промінь побудов (промінь, від якого будуть виконуватися побудови, точка D – початок променя), скориставшись інструментом Промінь.

- Побудуйте коло радіусом
AB з вершиною в точці D, скориставшись для цього інструментом Коло за радіусом.

- Знайдіть точку
F перетину побудованого кола з променем DE, скориставшись для цього інструментом Точка перетину..

- Побудуйте коло радіусом
BC з вершиною в точці F, скориставшись для цього інструментом Коло за радіусом.

- Побудуйте коло радіусом
AC з вершиною в точці D, скориставшись для цього інструментом Коло за радіусом.

- Знайдіть точки
H і I перетину двох останніх побудованих кіл, скориставшись для цього інструментом Точка перетину.

- Виберіть з точок
H і I ту, яка відповідає умовам задачі, і через неї проведіть промінь з початком у точці D, скориставшись для цього інструментом Промінь.

- Виконайте вимірювання кутів, скориставшись для цього інструментом Виміряти кут.

- Виконайте тестування розробленого ДК – при зміні параметрів креслення кути повинні залишатися рівними.

Рисунок 1.

11 ДК "Аксіома 7. Відкладання кута за шаблоном"

На наведеному рисунку ДК ми зберегли всі проміжні побудови і рівні відрізки зафарбували однаковим кольором. Експериментально впевніться, що побудови виконано правильно, акуратне доведення потребує властивостей трикутників, які будуть вивчатися в цьому курсі пізніше (ознака рівності трикутників за трьома сторонами).

Аналогічно до відкладання відрізків можна розробити макрос

AngleBySample для побудови кута за шаблоном.

Завдання 1.8.2

- Почніть побудову нового ДК, скориставшись для цього командою Створити новий рисунок
.

- Завантажте макрос
AngleBySample з бібліотеки макросів, скориставшись для цього командою Макроси/Завантажити макрос.

- Побудуйте довільний кут і промінь.

- Відкладіть від променя кут, величина якого дорівнює величині заданого кута, скориставшись для цього макросом
AngleBySample.

9. Трикутник

За визначенням, трикутник є фігурою, що складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки.

На перший погляд здається все просто,

але це не зовсім так. Кожна наука вивчає не властивості конкретних об’єктів своєї предметної області, а спільні властивості цілих класів об’єктів. Тому дуже важливим є критерій, коли об’єкти можна віднести до одного класу, в нашому випадку важливим є те, коли можна вважати два трикутника рівними.

Треба зрозуміти визначення рівності трикутників. На це питання відповідає наступна аксіома про існування трикутника, що дорівнює даному, який можна побудувати виходячи з довільного положення його вершини, довільного напряму його сторони, довільної півплощини, в якій він розташований. Іншими словами, можна побудувати у площині безліч трикутників, рівних даному.

10. Існування трикутника, що дорівнює даному

Аксіома 8. Існування трикутника, що дорівнює даному

Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому у заданому розміщенні відносно даної пів прямої.

Під час побудові кута, рівного даному за шаблоном у п.8, ми фактично будували трикутник, рівний даному, на довільному промені в даній півплощині.

Зважаючи на важливість питання, ми повторимо ці побудови в наступному ДК “Аксіома 8. Існування трикутника, що дорівнює даному”:

- Побудуйте довільний трикутник
ABC, скориставшись для цього інструментом Многокутник (зауважимо, що для побудови многокутника, його потрібно замкнути – для завершення вводу треба клацнути на першій вершині, тобто (у нашому випадку) на вершині A).

- Побудуйте довільний промінь
DE, скориставшись для цього інструментом Промінь.

- Відкладіть на промені
DE відрізок, що дорівнює стороні AB трикутника:

1. Побудуйте коло з радіусом

AB і з центром у точці D, скориставшись для цього інструментом Коло за радіусом.

- Знайдіть точку
F перетину променя DE з побудованим колом, скориставшись для цього інструментом Точка перетину.

- Побудуйте коло з радіусом
AC і з центром у точці D, скориставшись для цього інструментом Коло за радіусом.

- Побудуйте коло з радіусом
BC з центром у точці F, скориставшись для цього інструментом Коло за радіусом.

- Знайдіть точки перетину
H і I двох останніх кіл, скориставшись для цього інструментом Точка перетину.

- Побудуйте два трикутники
DFI і DFH, скориставшись для цього інструментом Многокутник.

- Виконайте вимірювання сторін трикутників, скориставшись для цього інструментом Вимірювати відстань
.

- Виконайте вимірювання кутів трикутників, скориставшись для цього інструментом Вимірювати кут
.

Трикутники

DFG і DFI – шукані, кожен з них лежить в одній з двох площин, які визначаються заданим променем. Варіант відповідного ДК наведено на наступному малюнку.

Рисунок 1.

12 ДК "Аксіома 8. Існування трикутника, що дорівнює даному"

Завдання

За допомогою комп’ютерних експериментів впевніться, що трикутники DFI і DFH – шукані, тобто рівні вихідному трикутнику ABC.

11. Паралельні прямі

Аксіома 9. Паралельні прямі

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній.

Для побудови прямої, яка проходить через дану точку паралельно до даної прямої, в пакеті DG існує спеціальний інструмент Паралельна пряма.

Побудуємо ДК “Паралельні прямі”:

- Побудуємо довільну пряму
AB, скориставшись для цього інструментом Пряма.

- Побудуємо довільну точку
C, скориставшись для цього інструментом Точка.

- Через точку
C проведемо пряму, паралельну прямій AB, скориставшись для цього інструментом Паралельна пряма.

Завдання 1.11.1

Збільшуючи масштаб зображення, впевніться, що побудовані прямі не перетинаються (збільшення масштабу виконується натиском на клавішу <-> на числовій панелі, зменшення - натиском на клавішу <+> на числовій панелі). Операцію можна виконувати до 32 разів в обох напрямках відносно вихідного зображення.

Рисунок 1.

13 ДК "Паралельні прямі"

Зауважимо, що під час проведення комп’ютерних експериментів у середовищі пакета DG постійно виникає потреба спостерігати ті чи інші фрагменти креслення. Пересування вздовж площини виконується в ручному режимі - для цього слід виконати операцію

Drag and Drop на полі креслення (натиснути на ліву кнопку миші і, не відпускаючи її, змістити мишу у відповідному напрямку).

12. Теореми і доведення

Чи може допомогти пакет

DG у доведенні теорем? На перший погляд, ні, тому, що теореми стверджують справедливість деякого твердження (висновку теореми) для нескінченої множини об’єктів (тих об’єктів, що задовольняють умову теореми). Те, що можна зробити за допомогою пакета DG – це тільки експериментально перевірити справедливість висновку теореми для великої кількості об’єктів, які задовольняють умову теореми, причому, цю перевірку можна зробити за допомогою пакета DG значно точніше, ніж без нього, але й тільки, як сказав Мцирі з однойменної поеми М.Ю.Лермонтова при аналізі причин втечі з монастиря. До того ж перевірку можна виконати тільки наближено – всі обчислення в пакеті виконуються наближено (наприклад, довжину діагоналі квадрата зі стороною 1 можна обчислити тільки наближено, оскільки DG може оперувати тільки десятковими дробами з певного діапазону; з того ж самого приводу довжину третини одиничного відрізка буде обчислено наближено - число 1/3 не можна точно представити у вигляді скінченого десяткового дробу). Проблему наближеності обчислень можна буде усунути у майбутньому, оздобивши пакет можливостями виконання точних обчислень, як у пакетах комп’ютерної алгебри (наприклад, у пакеті Derive). Проблему експериментальних досліджень властивостей нескінченої кількості об’єктів, що задовольняють умові теореми, не можна буде розв’язати ніколи. Разом із тим, проводити бездоганні з математичної точки зору доведення теорем можна аналітично, за допомогою символьних обчислень, наприклад, у середовищі пакета Derive. Таким чином, принципові розв’язання питань автоматизації доведень можливі тільки на шляху використання пакетів символьних перетворень. Залишимо поки доведення теорем дослідникові, принаймні у курсі геометрії загальноосвітньої школи. А навіщо тоді пакет DG з його можливостями автоматизації наближених експериментів в геометрії? Навіщо експерименти в геометрії? Чи можуть допомогти експерименти під час доведення теорем? За суттю, весь даний посібник є докладною відповіддю на ці запитання. Оскільки даний параграф присвячений питанню доведення теорем, сформулюємо, як можна використовувати пакет DG у процесі доведення теорем.

Побудова контрприкладу до теореми за допомогою пакета

DG

Звідки беруться теореми? Теореми - це результат математичного передбачення дослідника. Попередньо невідомо, це передбачення є істинним чи хибним і тому ця гіпотеза може бути доведеною або спростованою. Теорему можна або довести за допомогою логіки, як говорять, дедуктивно, або можна спростувати, якщо вдасться побудувати приклад об’єкта, для якого теорема не виконується. Процес пошуку доведення теореми невід’ємний від процесу пошуку контрприкладів до теореми.

Пакет DG можна ефективно використовувати для спростування хибних теорем, хибних гіпотез.

Як приклад використання пакета DG з метою спростування хибних гіпотез наведемо ДК “Задача про ворону та сир” (з умовою задачі ознайомтесь з зображення ДК).

У процесі розв’язування задачі може виникнути гіпотеза, що оптимальною точкою буде:

- точка, яка рівновіддалена від основ паркана й дерева;
- точка, яка рівновіддалена від вершин паркана й дерева.

Завдання 1.12.1

За допомогою експериментів із залученням ДК “Задача про ворону та сир” спростуйте наведені вище гіпотези.

Рисунок 1.

14 ДК “Задача про ворону та сир”

Пошук закономірностей за допомогою пакета

DG

Доведення теореми звичайно розбивається на кроки – твердження, які теж є теоремами, але більш простими – образно кажучи, теоремами - одноходовками, які є логічними наслідками співставлення деякої умови і вже доведеної раніше теореми або аксіомами геометрії, які вважаються істинними за визначенням. Уміння побачити ці кроки доведення - більш прості теореми, послідовність яких і складає доведення теореми, є мистецтво математика. Пакет

DG можна використовувати для пошуку закономірностей, послідовність яких може вести до доведення теореми.

Ці закономірності, висловлені у формі гіпотез, також потребують дедуктивного доведення. Разом із тим, правильно сформульоване питання є половиною відповіді на нього. Видатний філософ сучасності М.Хайдегер говорить, що філософія (тобто “любомудріє”) є вміння ставити запитання. Те ж саме можна сказати про математику, тим більше, що математика займає проміжне положення між конкретними науками і філософією, математика – це мова науки (як сказав великий І.Ньютон: “Природа розмовляє з людиною мовою математики”).

Як приклад використання пакета

DG з метою знаходження закономірностей є ДК “Задача про ворону та сир”.

У цій задачі мабуть більше ніж половина розв’язання є здогадом про те, що шукана точка задовольняє таку умову: відрізки, які поєднують її з вершиною дерева й точкою на паркані, утворюють рівні кути з горизонтальною лінією. Цій здогад спрощується за допомогою наведеного ДК. Усі параметри ДК змінювані – висота дерева й паркана, положення дерева, паркана та сиру, причому довжина шляху ворони автоматично перераховується під час змін ДК. Експерименти допоможуть висловити ґрунтовну гіпотезу, після чого тільки й можна приступати до доведення або спростування цієї гіпотези. Доведення цього твердження спирається на властивості точок, симетричних відносно прямої (вони рівновіддалені від довільної точки осі симетрії) і на властивості сторін трикутника (сума двох довжин довільних двох сторін трикутника більша довжини його третьої сторони). Ці твердження будуть доведені пізніше.

Завдання

Доведіть сформульовану гіпотезу, спираючись на наведені властивості симетричних точок і довжин сторін трикутника

(їх буде доведено далі в курсі геометрії).

13.

Аксіоми

Як зазначалося в попередньому параграфі, всі властивості геометричних фігур повинні бути доведені за допомогою логічних міркувань (дедукції). При цьому більш складні твердження зводять до більш простих, більш прості зводять до ще більше простих тощо. Однак зрозуміло, що на цьому шляху зведення повинна бути межа – інакше доведення ніколи не закінчиться. Таким чином, повинні існувати деякі твердження (аксіоми), істинність яких не буде доводитись, вони будуть істинними за іншими умовами. Найпростіший вихід – поступити формально, прийняти деякі властивості істинними “за визначенням” або “за домовленістю”. Це логічно бездоганний підхід, проте з точки зору практичної значущості теорії, незрозуміло, чи може така теорія бути корисною на практиці. Тобто аксіоми повинні якоюсь мірою відбивати властивості реального світу. Призначенням геометрії є моделювання просторових властивостей світу, тому аксіоми геометрії повинні відбивати просторові властивості світу – бути абстракціями реальних об’єктів і їх властивостей. Геометрія в перекладі з грецької означає “виміри на землі”. Площину можна собі уявляти як рівнинну місцевість, на якій виконуються побудови за допомогою інструмента “геошнур” – два кілки, поєднані шнурком. Ввіткнення кілка в землю відповідає ставленню точки на площині, а натягування шнурка між двома кілками – проведенню прямої через дві точки. Обертання ж одного кілка навколо ввіткнутого в землю другого при натягнутому шнурку постійної довжини представляє побудову кола. За допомогою геошнура можна виконувати розмітку ділянки садиби.

Історично аксіоми геометрії відбивали властивості побудов на рівнині за допомогою геошнура. І саме це забезпечило велику практичну значимість геометрії, бо геометрія є моделлю побудов на рівнині. З іншого боку, побудови на рівнині за допомогою геошнура виконують роль інтерпретації для геометрії – всі отримані в геометрії результати можуть бути використані на практиці відповідним образом.

Універсальність аксіоматичного методу виявляється в тому, що інтерпретацій аксіоматичних теорій може бути багато. Якщо для якоїсь множини об’єктів виконуються аксіоми теорії, то для цих об’єктів справедливі всі результати (теореми), що були отримані у межах цієї теорії.

Однією з інтерпретацій геометрій є побудови на папері за допомогою циркуля і лінійки.

Пакет

DG - це ще одна інтерпретація геометрії Евкліда, геометрії на площині. Важливо усвідомити, що властивості точок, прямих та площин з точки зору математичної теорії і їх властивостей в пакеті DG не можна ототожнювати. Та ж сама ситуація, як і з побудовами на місцевості за допомогою геошнура чи побудовами на папері за допомогою циркуля та лінійки: точки – це не точки у суворому дотриманні слова, прямі – не прямі, і площини – не площини.. Разом із тим, пакет DG – інтерпретація геометрії на площині і це означає, що він моделює і з деякою похибкою відбиває відповідні властивості справжньої - абстрактної геометрії. Зразу ж зауважимо, що якість електронної моделі геометрії (пакета DG) значно вище за традиційні (побудови на місцевості, або на папері), проте й електронна модель є теж наближеною і цього не треба ні забувати, ні нехтувати цим. Найголовніше, що треба мати на увазі – це те, що пакет DG просто зручний інструмент для виконання геометричних побудов, деякою мірою, він є просто ”комп’ютерним інструментарієм геометрії” – “комп’ютерним олівцем”, “комп’ютерною лінійкою”, “комп’ютерним циркулем”.

Пакет DG - це магічні олівець, лінійка й циркуль, які працюють з магічною швидкістю, точністю, виразністю:

- Магічна швидкість
– обчислювальні потужності одного комп’ютера перевищують обчислювальні потужності всього людства разом, причому обчислення виконуються з абсолютною точністю (на відміну від людських обчислень);
- Магічна точність
– більше 10 значущих цифр (еквівалентна можливості виміряти відстань від Харкова до Києва з точністю до 0.1 міліметра):
- Магічна виразність
– графічні можливості комп’ютерів дозволяють використовувати палітру з більш ніж 16 000 000 кольорами (таку палітру не могли собі уявити, мабуть, навіть імпресіоністи

).

Проте, крім магічних швидкості, точності та виразності, є ще дві магії пакета DG – це магія динамізму та магія інтелектуальності, які перетворюють його у принципово новий інструмент, який не можна реалізувати тільки комп’ютерними засобами:

- Магічна динамічність.
Пакет DG це не простий графічний редактор, який запам’ятовує графічні образи, це геометричний редактор, що запам’ятовує правила, алгоритми побудови графічних зображень, і тому при інтерактивній зміні положень базових точок зображення автоматично перебудовує зображення за збереженими правилами (наприклад, якщо було побудовано трикутник, а потім навколо нього було описано коло, то під час перетягування вершин трикутника за допомогою миші коло автоматично буде змінюватись, залишаючись при цьому колом, яке описане навколо трикутника).

- Магічна інтелектуальність,
Пакет DG здатен накопичувати кількість задач, які він може розв’язувати самостійно (тобто, автоматично, без втручання користувача). Як відомо, один із найважливіших критеріїв інтелектуальності є вміння вчитись. Кожний користувач може навчити пакет DG розв’язувати типові задачі, які є особисто значущими для нього. Для цього в DG умонтований механізм розробки та використання макроконструкцій

.

Ми так багато сказали про магічні властивості пакета DG, проте не відповіли на головне питання – а навіщо він потрібний взагалі? Є геометрія - чудова наука, яка існує вже принаймні 2500 років, є сталий курс геометрії, сталі прийоми її викладання та вивчення. Чого ще потрібно? Спробуємо відповісти на це питання. Найкращий шлях

навчання – самостійне відкриття закономірностей, відкриття, яке повторює шлях людства в опануванні знаннями. Це найкращий шлях, але і найтрудомісткіший – кожен учень повинен побути хоч трошки і Евклідом, і Архімедом, і Паскалем, і Ньютоном, і Менделєєвим, і Ейнштейном, і Ландау, .... Без сучасних потужних інформаційних технологій це завдання не розв’язати. За допомогою відповідних пакетів можна змоделювати умови, в яких відбулося відкриття, а учень сам, проводячи відповідну навчальну дослідницьку роботу, “відкриє” закономірності. У такий спосіб учень буде брати участь у відкритті властивостей, познайомиться з “технологією відкриття”, технологією “життя”, функціювання відповідної галузі науки. За допомогою пакета DG учень отримує зручний інструмент для проведення комп’ютерних експериментів у галузі геометрії.

Останнє важливе питання – виконання аксіом геометрії у пакеті

DG. Коли ми експериментально перевіряємо справедливість аксіом у пакеті DG (наприклад, що через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести на екрані за допомогою пакета DG не більше як одну пряму, паралельну даній), ми тим самим перевіряємо, що система аксіом геометрії має інтерпретацію і тому геометрія є змістовною – її результати можна використовувати на практиці, принаймні в комп’ютерній геометрії. Проте кожна інтерпретація геометрії, у тому числі й комп’ютерна, дає можливість не тільки застосовувати отримані результати в галузі геометрії, але й допомагати в пошуку нових результатів. Розв’язуючи задачу, стародавній математик малював геометричне креслення паличкою на піску, математик доінформаційного суспільства виконував побудови олівцем на папері, сучасний математик будує й досліджує геометричні моделі на екрані комп’ютера. Ці комп’ютерні моделі з одного боку можуть виконувати роль інтерпретацій відомих теорем геометрії, з другого боку – комп’ютерні моделі можуть виконувати роль джерела плідних ідей для відкриття нових властивостей геометричних фігур – нових теорем.

Аксіоми геометрії виникли з людського досвіду побудов на площині. Зрозуміло, в реальності не існує площини – нескінченної “абсолютно рівної” поверхні, яка не має “висоти” на якій розташовані прямі – лінії, які не мають “товщини” і які “абсолютно прямі”, у площині та на прямій лежать точки – деякі ефемерні об’єкти, що не мають ані висоти, ані товщини, ані довжини.

Не існує в реальності ні прямих, ні точок. Навіщо ж вивчати властивості об’єктів, яких у реальності не існує? Відповідь і проста і складна: вивчати – для того, щоб знати, бо знання можуть бути тільки абстрактними, загальними, притаманними не тільки одному реальному об’єкту, а цілому класу реальних об’єктів. Це дуже складний процес формування абстрактних понять, і чим більше розвивається суспільство, тим більш загальні абстракції формуються, тим більш загальні теорії будуються. Математика – це універсальний інструмент для побудови моделей дійсності. Геометрія – це важливий розділ математики, який дозволяє в абстрактній формі моделювати та досліджувати просторові властивості об’єктів та процесів реального світу. Наприклад, в геометрії досліджено властивості площини, й отримані результати використовують архітектори, проектувальники, будівельники тоді, коли розглядається досить малий фрагмент земної поверхні. Якщо ж вивчаються об’єкти, які розташовано на поверхні Землі і які мають досить великі розміри, то використовують іншій розділ геометрії, який вивчає сферичні поверхні. Оскільки поверхню планет можна з великою точністю вважати сферою, то фахівці всіх спеціальностей, пов’язаних з розміщенням об’єктів на поверхні планет (геологи, геодезисти, транспортники (машиністи, капітани, льотчики, шофери і т.д.), космонавти, можуть використовувати результати, які отримані в геометрії.

Для застосування результатів геометрії на практиці треба знайти ті об’єкти дійсності, які можна вважати за площини, за прямі та точки і потім для них застосовувати результати, що отримані в геометрії.